Transformée de Fourier discrète
de \(u\) fonction \(a\)-périodique
Coefficients définis par : $$\tilde u_n=\frac1N\sum_{l=0}^{N-1}\underbrace{u\left(\frac {la}N\right)}_{=:u_l} \underbrace{e^{-2\pi i nl/N} }_{=\omega_N^{-nl} }\quad\text{ avec }\quad n\in[\![-N/2,N/2-1]\!]$$
- permet de calculer les Coefficients de Fourier exponentiels d'une fonction \(u\) à partir de \(N\) de ses échantillons \(\{u(ka/N)\mid k\in[\![0,N-1]\!]\}\)
- la transformée de Fourier discrète inverse (IDFT) est donnée par \(u_k=\sum^{N/2-1}_{n=-N/2}\tilde u_ne^{2\pi ikn/N}\) pour \(k\in[\![0,N-1]\!]\)
- si \(u\) est continue, alors les coefficients \(\tilde u_n\) peuvent être considérés comme une approximation des Coefficients de Fourier exponentiels \(c_n(u)\) via la Méthode des trapèzes
- si les échantillons \(u_k\) sont réels, alors \(\tilde u_0,\tilde u_{-N/2}\in{\Bbb R}\), et on a la symétrie hermitienne \(\tilde u_k=\overline{\tilde u_{-k} }\)
- si \(u\) est un Polynôme trigonométrique avec toutes ses fréquences dans \(-\frac N2,\dots\frac N2-1\), alors \(\tilde u_{-N/2}=0\)
- ce coefficient joue un rôle spécifique,puisqu'il ne possède pas de terme conjugué
- en deux dimensions, la DFT et l'IDFT sont définies par : $$\tilde u_{m,n}=\frac1{N^2}\sum_{k=0}^{N-1}\sum_{l=0}^{N-1}\underbrace{u\left(\frac{ka}N,\frac{la}N\right)}_{=:u_{k,l} }e^{-2\pi i (mk+nl)/N}\quad\text{ et }\quad u_{k,l}=\sum^{N/2-1}_{n=-N/2}\sum_{m=-N/2}^{N/2-1}\tilde u_{m,n} e^{2\pi i(km+ln)/N}$$
- même propriétés de réalité et de symétrie hermitienne qu'en 1D
- les échantillons représentent parfaitement le signal/l'image sous deux conditions :
- On a la bonne périodicité
Il y a assez d'échantillons pour représenter toutes les fréquences
- si \(u\) est un signal sur \([0,a]\) tq \(\sum_n\lvert c_n(u)\rvert\lt \infty\), alors la DFT de ses \(N\) échantillons sur \([0,a]\) est égale à la séquence \(N\)-périodisée de sa Série de Fourier, i.e. $$\tilde u_n=\sum^{+\infty}_{q=-\infty}c_{n+qN}(u)\quad\text{ pour }\quad n\in[\![ -N/2,N/2-1]\!]$$
Questions de cours
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Expliquer à quoi sont dues les lignes \(\boxplus\) lorsqu'on visualise la DFT d'une image.
Verso: Elles sont dues aux discontinuités aux bordures de l'image, lorsqu'elle est implicitement périodisée par la DFT.
Bonus:
Carte inversée ?:
END
